8皇后

8皇后之间需满足：

• 1.不在同一行上
• 2.不在同一列上
• 3.不在同一斜线上
• 4.不在同一反斜线上

​ 这为我们提供一种遍历的思路，我们可以逐行或者逐列来进行可行摆放方案的遍历，每一行（或列）遍历出一个符合条件的位置，接着就到下一行或列遍历下一个棋子的合适位置，这种遍历思路可以保证我们遍历过程中有一个条件是绝对符合的——就是下一个棋子的摆放位置与前面的棋子不在同一行（或列）。接下来，我们只要判断当前位置是否还符合其他条件，如果符合，就遍历下一行（或列）所有位置，看看是否继续有符合条件的位置，以此类推，如果某一个行（或列）的所有位置都不合适，就返回上一行（或列）继续该行（或列）的其他位置遍历，当我们顺利遍历到最后一行（或列），且有符合条件的位置时，就是一个可行的8皇后摆放方案，累加一次八皇后可行方案的个数，然后继续遍历该行其他位置是否有合适的，如果没有，则返回上一行，遍历该行其他位置，依此下去。这样一个过程下来，我们就可以得出所有符合条件的8皇后摆放方案了。这是一个深度优先遍历的过程，同时也是经典的递归思路。

​ 接下来，我们以逐列遍历，具体到代码，进一步说明。首先，从第一列开始找第一颗棋子的合适位置，我们知道，此时第一列的任何一个位置都是合适的，当棋子找到第一个合适的位置后，就开始到下一列考虑下一个合适的位置，此时，第二列的第一行及第二行显然就不能放第二颗棋子了，因为其与第一个棋子一个同在一行，一个同在一条斜线上。第二列第三行成为第二列第一个合适的位置，以此类推，第三列的第5行又会是一个合适位置，这个过程中，我们注意到，每一列的合适位置都是受到前面几列的位置所影响，归纳如下：

​ 假设前面1列的棋子放在第3行，那当前列不能放的位置就一定是3行，2行，4行。因为如果放在这三行上就分别跟前一列的棋子同在一行、同在斜线、同在反斜线上，不符合我们的要求。现在我们用cols数组来表示8个列棋子所放的行数，数组下标从0开始，其中数组下标表示列数，数组的元素值表示该列棋子所在行数，当前列为N（N>=0,N<8），即cols[N-1]=3,则有：

​ cols[N] != cols[N-1]（=3，表示不在同一行）

​ cols[N] != cols[N-1]-1（=3-1=2，表示不在同一斜线上)

​ cols[N]!=cols[N-1]+1(=3+1,表示不在同一反斜线上)

​ 这里我们注意到，如果N-2列存在的话，那么我们还要考虑当前列N不与N-2列的棋子同行，同斜线，同反斜线。把当前列N的前面的某一列设为m,则m的所有取值为｛m>=0,m<N｝的集合,故又可在上面式子的基础，归纳为如下：

​ cols[N] != cols[m]（与第m列的棋子不在同一行）

​ cols[N] != cols­­[m] -（N-m）(>=0 ,与第m列的棋子不在同一斜线上)

​ cols[N] != cols­­[m] + (N-m) (<=8-1,与第m列的棋子不在同一反斜线上)

​ 具体到代码，很显然，取m的所有值只需要一句循环，同时我们为每一列定义一个长度为8的布尔数组row[],下标同样是从0开始，我们规定当row[i]=true时，表示该列第i行不能放棋子。这样我们就能写成下列程序段了：

boolean[] rows = new boolean[8];
      for(int m=0;m<N;i++){
         rows[cols[m­]]=true;//当前列N的棋子不能放在前面列m的棋子所在行。
         int d = N-m;//该句用于设置当前列N的棋子不能放在前面列m的棋子的斜线上
        if(cols­­-d >= 0)rows[cols­-d]=true； // 该句用于设置当前列N的棋子不能放在前面列m的棋子的反斜线上
if(cols+d <=8-1)rows[cols­+d]=true;  
  }

​ 好了，到此为止，我们程序的核心内容都具备了，一个基于深度优先的遍历流程和一个判断位置是否合适的算法。下面贴出运行后算出的所有可行方案（即92种，“+”号代表空棋位，“0”代表皇后所在位置），源码（注源码变量名定义与上述略有不同，打印效果也不是图片所显示的效果，代码有做些微改动）。

​

public class Queen8 {
    public static int num = 0; //累计方案总数  
    public static final int MAXQUEEN = 8;//皇后个数，同时也是棋盘行列总数  
    public static int[] cols = new int[MAXQUEEN]; //定义cols数组，表示8列棋子摆放情况  
    public Queen8() {
        //核心函数
        getArrangement(0);
        System.out.print("\n");
        System.out.println(MAXQUEEN+"皇后问题有"+num+"种摆放方法。");
    }

    public void  getArrangement(int n){
        //遍历该列所有不合法的行，并用rows数组记录，不合法即rows[i]=true
        boolean[] rows = new boolean[MAXQUEEN];
        for(int i=0;i<n;i++){
            rows[cols[i]]=true;
            int d = n-i;
            if(cols[i]-d >= 0)rows[cols[i]-d]=true;
            if(cols[i]+d <= MAXQUEEN-1)rows[cols[i]+d]=true;

        }
        for(int i=0;i<MAXQUEEN;i++){
            //判断该行是否合法
            if(rows[i])continue;
            //设置当前列合法棋子所在行数
            cols[n] = i;
            //当前列不为最后一列时
            if(n<MAXQUEEN-1){
                getArrangement(n+1);
            }else{

                //累计方案个数
                num++;
                //打印棋盘信息
                printChessBoard();
            }


        }

    }
    public void printChessBoard(){

        System.out.print("第"+num+"种走法 \n");

        for(int i=0;i<MAXQUEEN;i++){
            for(int j=0;j<MAXQUEEN;j++){
                if(i==cols[j]){
                    System.out.print("0 ");
                }else
                    System.out.print("+ ");
            }
            System.out.print("\n");
        }

    }
    public static void main(String args[]){
        Queen8 queen = new Queen8();
    }

}